CEIP VICENTE ALEIXANDRE 6º: TEMAS MATEMÁTICAS

UNIDAD 14

AZAR. PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA.

1.- PROBABILIDAD

1.A - Llamamos fenómenos aleatorios a aquellos cuyos resultados dependen del azar. Cada uno de los resultados de un fenómeno aleatorio se llama suceso. Podemos representarlo en un diagrama de árbol.

2.B - CLASIFICACIÓN DE PROBABILIDADES. En un fenómeno aleatorio un suceso es seguro si ocurre siempre, es imposible si no ocurre nunca, y es posible o probable si puede o no ocurrir. Por ejemplo al lanzar un dado, sacar un cinco es un suceso posible o probable, el sacar un siete es un suceso imposible y el sacar un número menor que siete es un suceso seguro.

1. B -CÁLCULO DE PROBABILIDADES Probabilidad =_número de casos favorables

número de casos posibles

La probabilidad de un suceso indica la posibilidad de que este suceso ocurra. La probabilidad se representa con una fracción que indica el cociente entre los casos favorables de que ocurra el suceso partido por los casos posibles. La probabilidad de un suceso aumente con el número de casos favorables. Por ejemplo al lanzar un dado la probabilidad de sacar un cinco es de 1/6 , de sacar un número impar es de 1/3

2.- ESTADÍSTICA

2. A –Los datos estadísticos son los obtenidos en un recuento o encuesta.

2. B –FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA DE UN DATO

- Frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que se repite un dato. La suma de las frecuencias es el número total de datos.

- Frecuencia relativa es el cociente de la frecuencia absoluta partida por el número total de datos. La suma de las frecuencias relativas es siempre la unidad.

2. C – CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA Para obtener la media de un conjunto de datos, se suman todos los datos y se divide el resultado de la suma entre el número de datos. Por ejemplo para calcular el precio medio de unos libros (media aritmética o promedio) sumamos sus precios y el resultado lo dividimos por el número de libros.

15 € + 18 € + 9 € = 42 € 42 € : 3 = 12 € El precio medio de estos libros es 12 €

2. D – CÁLCULO DE LA MODA La moda de un conjunto de datos es el que tiene mayor frecuencia absoluta.

2. E – CÁLCULO DE LA MEDIANA La mediana de un conjunto de datos es un valor tal que el número de datos menores que él es igual al número de datos mayores que él. Para calcular la mediana debemos ordenar los datos de menor a mayor. Si el número de datos es impar la mediana es el valor central. Si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.

Unidad 13

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

1 -VOLUMEN
1.A) El Volumen de un cuerpo es el espacio que ocupa. Medir el volumen es calcular el número de unidades cúbicas que caben en su interior.
1.B) Unidades de volumen más usadas: m³ dm³ cm³

Cada unidad de volumen tiene 1.000 unidades del orden inmediato inferior 1 m³ = 1.000 dm³ 1 dm³= 10³ cm³ = 1.000 cm³ 1 m³ = 10⁶ mm³ = 1.000.000 cm³

1.C) La capacidad de un recipiente equivale a su volumen: la capacidad de un decímetro cúbico es un litro. 1 m³ = 1.000 litros 1 dm³ = 1 litro 1 cm³ = 1 ml

2 - POLIEDROS IRREGULARES

2.A) Elementos de un poliedro:   vértices, aristas, caras. En todos los poliedros   C + V = A + 2    2.B) Prismas:    son poliedros con dos polígonos iguales como bases y con caras laterales que son paralelogramos. Reciben el nombre según sea su base (cuadrangulares, triangulares, pentagonales, etc.).
El volumen de los prismas cuadrangulares o rectangulares(ortoedros) es igual al producto de su largo por su ancho por su alto.                 V= largo x ancho x alto= h x área de la base
2.C) Pirámides:    son poliedros con una base poligonal y caras laterales triangulares.                        Se denominan según sea su base (pentagonal, hexagonal, octogonal...). El vértice donde convergen          las caras laterales se llama cúspide.

2.D) Otros :

3 - POLIEDROS REGULARES

3.A) Cumplen tres condiciones: todas su caras son iguales, todas su caras son polígonos regulares y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de aristas.        3.B)Tetraedro

3.C) Cubo o hexaedro

3.D) Octaedro

3.E) Dodecaedro

3.F) Icosaedro

4 - CUERPOS DE REVOLUCIÓN

4.1)   Elementos : están limitados por una superficie curva y opcionalmente por una o dos caras planas.   Están generados por una superficie plana que gira alrededor de un eje.

4.2) Cilindro:   Dos bases iguales circulares, superficie lateral, altura.

4.3) Cono:    Base circular, cúspide, superficie lateral, altura.

4.D) Esfera:       Radio, diámetro, circunferencia máxima

5.E) El prefijo “semi” indica mitad.   Semicilindro, semicono,   semiesfera.

UNIDAD 12: PROPORCIONALIDAD, PORCENTAJES

1-RAZÓN DE DOS NÚMEROS

-Razón es el cociente indicado de dos cantidades expresadas en las mismas unidades. Los términos de una razón se llaman antecedente y consecuente.entre dos segmentos de recta AM (2 cm) y BN (9 cm) se expresará 2cm/9cm

-Diferencias entre fracción y razón: Aunque se escriban de forma similar tienen significados diferentes.

Una fracción indica siempre una cantidad, sus términos son números enteros y su expresión decimal ( 2/2 Kg = 0,5 Kg) tiene las mismas unidades.

Una razón compara dos cantidades expresadas en las mismas unidades, sus términos pueden ser números enteros o con decimales (1,25kg/2,25kg =0,5) su valor no tiene unidades

2-PROPORCIONALIDAD -Se llama proporción a la igualdad de dos razones 2kg/5kg =1,5€/3,75€ . 2 x 3,75 = 5 x 1,5

-En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. –Magnitudes proporcionales son aquellas cuyas cantidades correspondientes forman una proporción Por ejemplo los metros de tela y su precio, la masa y el precio de un producto, etc..

–Dos magnitudes son directamente proporcionales si al variar una (doble, triple, mitad,…) la otra varía de la misma forma (doble, triple, mitad,…). Las magnitudes directamente proporcionales las calculamos por el método de reducción a la unidad

-Se puede representar en una tabla de proporcionalidad Ejemplo: visita al museo

Nº de personas	1	2	3	4	5
Precio en euros	4	8	12	16	20

3-PORCENTAJES
-Un porcentaje equivale a una fracción de denominador 100. 35% =35/100 = 0,35 -Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, dividimos la cantidad entre 100 y se multiplica el resultado por el tanto por ciento 25% de 180 = 180 : 100 x 25 = 45

-Si este resultado lo añadimos a la cantidad inicial, hablamos de incremento (180+45) y si lo restamos hablamos de descuento (180 - 45---- descuento del 25% )

-Cálculo mental de porcentajes: 25 % = 1/4 (la cuarta parte) 50% = 1/2 (la mitad)
20% = 1/5 (la quinta parte) ejemplo 10% de 15 euros = 1 euro 50 cts -

4-ESCALAS -Figuras semejantes son las que tienen la misma forma y distinto tamaño. La razón de dos figuras semejantes es el cociente de la medida de los lados correspondientes.Un cuadrado ABCD de 4 cm de lado es semejante a otro cuadrado EFGH de 8 cm de lado, la razón de de 0,5 o 1/2.

-Los mapas y los planos son representaciones semejantes a la realidad, tienen la misma forma y distinto tamaño. La escala de un plano o un mapa señala la relación que hay entre las dimensiones del plano o mapa y las reales.

-Numéricamente se escribe 1 : 250.000 Indica que a un centímetro del mapa corresponde a 250.000 cm en la realidad (2,5 km) . Dos localidades que se encuentren en este mapa a 10 cm en la realidad estarán a 25 km de distancia.

-La escala gráfica se representa por un segmento en el que se marcan las distancias del plano o mapa y se asocia a la distancia de la realidad.

5-EJERCICIOS Y PROBLEMAS

–Cuaderno azul Santillana tercer trimestre

–Enlaces a páginas web en el apartado de matemáticas del blog de 6º

UNIDAD 11

ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS

1-CONCEPTO DE ÁREA -El área de una figura es la medida de su superficie. La superficie tiene dos dimensiones: largo y ancho.

Se miden en unidades estudiadas -tema 10.- (hectárea, área, m², km², mm²,…)

-El cálculo de las áreas fue una de las primeras actividades científicas de las culturas antiguas. Los egipcios, cuyos campos eran inundados por la crecida del Nilo, necesitaban después de cada crecida volver a asignar a cada agricultor la misma cantidad de tierra que tenían al principio. Por eso desarrollaron las técnicas de medición y cálculo del área de figuras planas. –La figuras iguales superpuestas coinciden. -Las figuras semejantes tienen la misma forma y distinto tamaño. -Las figuras equivalentes ocupan la misma superficie. -Recuerda que perímetro (se expresa en unidades de longitud) y área son dos magnitudes muy distintas

2-ÁREA DE PARALELOGRAMOS -Romboide y rectángulo A= base x altura=b x a También lo podéis encontrar como b x h El área de un romboide es igual al área de un rectángulo de iguales base y altura -Rombo Su área es igual al producto de sus diagonales dividido entre dos. A= (D x d) : 2 (Diagonal mayor x diagonal menor) : 2 -Área del cuadrado: es su lado elevado al cuadrado A= l²

3-ÁREA DEL TRIÁNGULO -Es la mitad del área del romboide o del rectángulo, y se calcula multiplicando la base por la altura y dividiendo entre dos A= (b x a) : 2

4-ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES -Perímetro= P = longitud del lado x número de lados -Área= A= (P. a) : 2 a=apotema

5-ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES -Área del círculo es el producto del número “pi” por su radio al cuadrado -Cálculo del área de un sector circular (por fracciones del círculo) y de una corona circular

6-ÁREA DE FIGURAS IRREGULARES y DE CUADRILÁTEROS NO PARALELOGRAMOS -Hay que descomponerlas primero en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular y sumar después las áreas de esas figuras. - Por ejemplo para hallar el área de un trapecio rectángulo podemos descomponerle en un triángulo y un rectángulo

-El área de un polígono cualquiera puede obtenerse descomponiéndolo en triángulos y sumando las áreas de todos ellos

7-PROBLEMAS

UNIDAD 10

POLÍGONOS. CIRCUNFERENCIA. CÍRCULO.

1.- POLÍGONOS

Triángulos y cuadriláteros -Base y altura en triángulos y paralelogramos -Trazado de un triángulo de lados cocidos -Clasificación de triángulos: según sus ángulos y sus lados -Clasificación de cuadriláteros: paralelogramos y no paralelogramos
Los polígonos regulares tienen todos sus lados iguales y también todos sus ángulos iguales. Presentan tantos lados como ejes de simetría. Elementos: apotema, centro, radio, diagonales, ejes de simetría

Lados-ejes	tres	cuatro	Cinco	Seis	Siete	Ocho
	Triángulo equilátero	cuadrado	pentágono	hexágono	heptágono	octógono
diagonales	----------	2
Suma ángulo int.	180º 60º	360º 90º	540º 108º	720º 120º

Números poligonales -Triangulares 3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 1+2+3+4+5+6=21 -Cuadrados 4-9-16-25-36 -Pentagonales 5 - 12 - 22 - 36 - 51 5+7=12 5+7+10=22 5+7+10+12+14=36

2.- CIRCUNFERENCIA. CÍRCULO. FIGURAS CIRCULARES.

Circunferencia -Elementos: radio, diámetro, centro, arco, cuerda -Longitud: 2.∏.r = diámetro x ∏ -Posiciones relativas de rectas (exterior, tangente, secante) y circunferencias (exteriores, interiores, secantes, tangentes interiores, tangentes interiores)
Círculo y figuras circulares -Figuras circulares: sector circular, segmento circular, corona circular, semicírculo

3.- EJERCICIOS Y PROBLEMAS

-Cálculo del perímetro de un polígono -Cálculo de la longitud de una circunferencia -Problemas sobre ángulos interiores de un polígono -Observación y experimentación sobre simetrías -Construcción de mosaicos con polígonos -Trazado de figuras planas como herramienta para resolución de problemas

TEMA 9

MEDIDAS: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

1.- MEDIDAS Y MAGNITUDES: EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

1.a-Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad.

1.b-En el pasado cada país y en algunos casos cada región seguían unidades de medidas diferentes, esto dificultaba las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades en 1792 la Academia de Ciencias de París propuso el Sistema Métrico Decimal. Progresivamente fue adoptado por todos los países. En España su uso es oficial desde 1849, aunque sobre todo en el ámbito agrario ha coexistido con las medidas tradicionales.

1.c-El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. Lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: longitud, masa, capacidad, superficie y volumen.

1.d- Forma simple e incompleja es la que se expresa con una única clase de unidades (ejemplo: 1,5 km). La Forma compleja se expresa en distintas clases de unidades (ejemplo: 1 Km 500 m). Para realizar operaciones conviene expresarlas en forma incompleja y en la misma unidad de medida.

2.- LONGITUD km-hm-dam-m-dm-cm-mm

-Distancias muy grandes: U. A., Año -luz

-Medidas microscópicas: micra (1000 micras=1 mm), nanómetro

-Tradicionales en Castilla: legua=5,5 km vara=0,835 m

-Tradicionales inglesas: milla=1.39 km yarda= 0,91 m pulgada=2,3 cm

3.- MASA kg hg dag g dg cg mg

-Múltiplos del kg: t (tonelada)=1.000 Kg q(quintal) =100 Kg

-Medidas tradicionales: libra=460 g=16 onzas onza=28,7 g

Arroba= 11,5 Kg = 25 libras

4.- CAPACIDAD kl hl dal l dl cl ml

-Tradicionales: cántara=16,13 l azumbre=2,05 l cuartillo= 0,51 l Fanega=55,5 l (áridos) cántara=8 azumbres azumbre=4 cuartillos

5.- SUPERFICIE km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

-Unidades agrarias: centiárea ca= 1 m² área a= 1 dam²=100 m² hectárea ha= 1 hm²=10.000 m²

6.- EJERCICIOS Y PROBLEMAS

Aplicaciones didácticas http://www.aplicaciones.info/decimales/sistema.htm

UNIDAD 8

DIVISIÓN CON DECIMALES

1.- DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS: El cociente de una división inexacta puede tener un número finito

o infinito de cifras decimales. Por ejemplo 3 : 7 = 0,42857…. 50 : 8 = 6,25

2.- DIVISIÓN DE UN NÚMERO CON DECIMALES ENTRE UN NÚMERO ENTERO: El cociente de un número con decimales entre un número entero se obtiene dividiendo la parte entera por el divisor y antes de dividir las décimas se pone la coma en el cociente y se continúan los cálculos. Por ejemplo 78,35 : 5 = 15,67

3.- DIVISIÓN DE UN NÚMERO ENTERO ENTRE UNO CON DECIMALES: Para dividir un número entero entre otro con decimales, primero se suprime la coma del divisor multiplicando el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como sea necesario y luego se calcula el cociente. Por ejemplo 8: 0,5 = 80 : 5 = 16

4.- DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS CON DECIMALES: Para dividir dos números con decimales se multiplican el dividendo y el divisor por 10, 100, 1.000… hasta suprimir la coma del divisor. Luego se realiza la división. Por ejemplo 45,64 : 3,5 = 456,4 : 35 = 13,04

5.- DIVISIÓN ENTRE LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS: Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros se traslada la coma a la izquierda tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Cuando no haya cifras decimales suficientes, se ponen ceros. 37,9 : 100 = 0,379 57,98 : 10 = 5,789 909 : 10.000 = 0,0909 1.234 : 1.000 = 1,234

6.- REPASO JERARQUÍA OPERACIONES APLICADA A NÚMEROS CON DECIMALES

7.- LOS RESTOS DE LAS DIVISIONES CON DECIMALES: El cociente se expresa en las mismas unidades que el dividendo. El resto representa unidades del mismo orden que la última cifra decimal del cociente. Por ejemplo 9,556 : 6 ------ c= 1,592 y resto 4 milésimas 8,78 : 5 ----- c = 1,75 y resto 3 centésimas

8.- CÁLCULO MENTAL dividir entre un número equivale a multiplicar por su inverso Dividir en 0,5 (= ½) equivale a multiplicar por dos 4 : 0,5 = 8 Dividir entre 0,1(=1/10) es lo mismo que multiplicar por 10 89,1 : 0,1 = 891 Podemos dividir entre 0,25 (=1/4) multiplicando por cuatro 9 : 0,25 = 36 Otros ejemplos: 34 : 0,2 = 34 : 1/5 = 34 x 5= 170 24 : 0,125 = 24 : 1/8 = 24 x 8 = 192

9.- PROBLEMAS CON DECIMALES Cuaderno segundo trimestre Santillana páginas 27, 29 y 31 Practica con problemas página 34, 35, 38, 39, 40 y 41

UNIDAD 7

NÚMEROS DECIMALES: SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN

1.-NÚMEROS DECIMALES

§ Cuando no podamos representar una cantidad con números enteros se utilizarán fracciones o números decimales. Escribir 1,5 o 3/2 son dos formas diferentes de expresar el mismo número.

§ Número decimal correspondiente a una fracción: recuerda que una fracción equivale a una división en el que el numerador es el divisor y el denominador el dividendo. Ejemplos: 4/8 = 4: 8 = 0,5 7/100 = 7: 100 = 0,07 3/4 = 3: 4 = 0,75

§ Situar números con decimales en la recta numérica: Entre dos números decimales siempre encontraremos otro decimal. 2,6 < 2,62 <2,7 2,61 < 2,614 < 2,62

§ Lectura y escritura de números con decimales hasta diezmilésimas (ejemplo 21,8093)

§ Descomposición de números con decimales (en décimas, centésimas, milésimas y diezmilésimas).
Comenzamos con la parte entera y seguimos con la parte decimal. Ejemplo 245,897 = 2C+ 4D+ 5U+ 8d+ 9c+ 7m

2.- COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

§ El mayor es el que tiene mayor parte entera

§ De los restantes el mayor es el que tiene mayor la cifra de las décimas

§ Y así sucesivamente con las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

§ Practica series con números decimales 0,25 < 0,40 < 0,55 < 0,70 <…

3.-APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

§ Aproximación a las unidades 2,726 ------ 3

§ Aproximación a las décimas 2,726------2,7

§ Aproximación a las centésimas 2,726-----2,73

4.-SUMA Y RESTA

§ Para sumar y restar decimales se colocan en columna de forma que coincidan las cifras del mismo orden (unidades con unidades, décimas con décimas,…), después se coloca la coma en el resultado debajo de las columna de las comas. 23,56 + 0,33 = 23,89 En el caso que sea necesario las cifras decimales que faltan en el minuendo o sustraendo se completan con ceros. Ejemplo 57,9 - 4,35 = 57,90- 4,35 = 53,55

§ Calcula mentalmente sumas y restas sencillas con decimales 0,9 + 1,5= 2,4

5.- MULTIPLICACIÓN

· Se realiza la multiplicación sin tener en cuenta las comas. Se separan después, de la derecha del producto, tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores. Es decir, el producto tiene tantas cifras decimales como ambos factores juntos.

· Para multiplicar por la unidad seguida de ceros: se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si es necesario se añaden ceros. Por ejemplo: 5,33 x 100= 533 5,1x100=510 0,0054 x 1000 = 5,4

· - Algunas estrategias de cálculo mental: multiplicar por un número es igual que dividir entre su inverso. Ejemplos: 5 x 0,1= 5: 10= 0,5 80 x 0,25 = 80: 4=20 60 x 0,2= 60: 5= 12 88: 0,125= 88:8= 11

6.- ESTIMACIONES

·         Para estimar sumas, restas o productos de números decimales se aproximan los números a la unidad más conveniente y después se realiza la operación con las aproximaciones
     Estimar el producto 7,98 x 6-----   8 x 6 =   48

7.- PROBLEMAS

· En “practica con problemas” (Bruño)

· En cuaderno de matemáticas 6º de Anaya

UNIDAD 6

LAS FRACCIONES. OPERACIONES CON FRACCIONES.

· Fracciones y números mixtos

o La fracción como cociente de dos números 4/5 = 4:5 = 0,8 El valor decimal de una fracción se calcula dividiendo el numerador entre el numerador

o Repaso: comparación de fracciones, fracción de un número

o Un número mixto está formado por un número natural y una fracción 1 ⅝

o Expresión de una fracción en forma de número mixto: todas las fracciones mayores que la unidad que no son equivalentes a un número natural se pueden expresar en forma de número mixto.

o Expresión de un número mixto en forma de fracción

· Clases de fracciones

	Concepto	Ejemplo
Propia	Menor que la unidad	⅞ < 1
Impropia	Mayor que la unidad, .	9/5 > 1
Aparente	Equivalente de un número natural	4/4 = 1
Decimal	Su denominador está formado por la unidad seguida de ceros	5/100
Irreducible	No se puede simplificar	7/8
Opuesta	Tiene los mismos términos pero distinto signo	½ -1/2
Inversa	Tiene sus términos cambiados	2/5 5/2

· Fracciones equivalentes

o Reconocimiento de fracciones equivalentes: llamamos fracciones equivalentes a las que tienen el mismo valor numérico. (tres quintos y seis décimos)

o Cálculo de fracciones equivalentes por amplificación y por simplificación: Si se multiplican o dividen los dos términos de una fracción por el mismo número se obtiene una fracción equivalente a la primitiva, es decir el valor de la fracción no varía.

· Suma y resta de fracciones con distinto denominador

o Para sumar y restar fracciones con distintos denominadores se convierten primero a común denominador. La suma o la diferencia de fracciones puede ser una fracción o un número entero.

o Reducción de fracciones a común denominador por el método del m.c.m.: Primer paso--Se calcula el denominador común hallando el m.c.m. de los denominadores Segundo paso—Se calcula el numerador de las nuevas fracciones (dividiendo el denominador común entre el denominador de cada fracción y se multiplica el resultado por el numerador)

o Para sumar o restar números enteros con fracciones transformamos el número entero en una fracción cuyo denominador sea igual al de la fracción con la que se va a sumar o restar (dos más tres cuartos= ocho cuartos más tres cuartos= once cuartos= 2 ¾)

· Multiplicación de fracciones.

o El producto de varias fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador, el producto de los denominadores.

o La fracción de una fracción es el producto de ambas

o Para multiplicar una fracción por un número entero multiplicamos el numerador de la fracción por el número entero y ponemos el denominador de la fracción (dos tercios por cuatro= ocho tercios)

o El producto de dos fracciones inversas es igual a la unidad

· División de fracciones

o Para dividir fracciones se multiplica la fracción dividendo por la fracción inversa del divisor. Recuerda que la división es la operación inversa de la multiplicación.

o Si el dividendo o el divisor es un número entero transformamos el número entero en una fracción de denominador uno.

· Problemas

o        De “Practica con problemas 8” Ed. Bruño
        Número 4 página 3. Números 4 y 5 página 5.
        Páginas 6-16
        Páginas 19-23

o Del “cuaderno de Matemáticas 6 Santillana segundo trimestre”

Número 3 página 5
Número 1 página 7

Número 7 página 11

Páginas 14 y 15

UNIDAD 5.- LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA

VALLADOLID, CIUDAD ANGULAR.

1º.- Las unidades : grado, minuto y segundo

· El grado es la unidad principal de medida de ángulos. Un grado se escribe 1º.

· Para medir ángulos con mayor precisión se utilizan medidas menores que el grado: el minuto y el segundo.

· El sistema de unidades para medir ángulos se llama sistema sexagesimal, porque 60 unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente.

Un minuto se escribe 1´ . 1º=60´ Un segundo se escribe 1´´ 1´=60´´

2º.- Tipos de ángulos y relaciones angulares

· ¿Cómo se nombran? Con una letra mayúscula –que representa el vértice-añadiendo encima el símbolo de ángulo Â o bien con tres letras mayúsculas y el símbolo encima.

· Identificación de tipos de ángulos y relaciones angulares en edificios, puentes, mosaicos en aceras, etc…(presentación en Powerpoint “Matemáticas en la calle. Valladolid, ciudad angular.”)

-Llano, convexo (menor que un llano), cóncavo (mayor que un llano)

-Recto=90º, agudo (menor que un recto), obtuso (mayor que un recto)

-Dos ángulos son complementarios cuando su suma es un ángulo recto- 90º-.

-Dos ángulos son suplementarios cuando su suma es un ángulo llano- 180º-.

-Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

-Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el mismo vértice y un lado en común

-Dos ángulos se llaman adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios.

· Representación de ángulos en hojas cuadriculadas, retícula isométrica, geoplanos, etc

3º.- Medida de ángulos:

· Instrumentos: transportador, compás, regla, escuadra y cartabón. Actividades de medir ángulos encontrados en Valladolid sobre fotografías, dibujos,…

. Como pasar de forma compleja a incompleja: -Para pasar de grados a minutos se multiplica por 60 -Para pasar de minutos a segundos se multiplica por 60

-Para pasar de grados a segundos se multiplica por 3.600 (60x60)

· Como pasar de forma incompleja a compleja -Si se dividen segundos entre 60, en el cociente se obtienen minutos y el resto son segundos que quedan -Si se dividen minutos entre 60, en el cociente se obtienen grados y el resto son minutos que quedan

4º.- Suma de ángulos

· De forma gráfica (utilizando regla, cartabón, escuadra, compás y transportador)

· De forma numérica 40º 36´ 15´´+ 35º 45´30´´ = 76º 21´ 45´´

Primero se suman grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Cuando superan la cantidad de 60 se convierten en la unidad de orden superior. En el ejemplo 36´+45´=81´ 81´= 1º 21´.

5º.- Resta de ángulos

· De forma gráfica (utilizando regla, cartabón, escuadra, compás y transportador)

· De forma numérica 40º 38´- 35º 47´ = 4º 51´ En este caso no se pueden quitar 47 de 38. Se convierte 1º a minutos de los 40º. Se suman a los 38´ ´ (60´+38=98´). Luego se restan los grados y los minutos.

6º.- Ángulos de polígonos

· La suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo llano (180º)

· La suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a un ángulo completo (360º)

· Ángulos en pentágonos, hexágonos y octógonos.

7º.- Medir y estimar grados de amplitud de sectores circulares

En arcos, ventanas, rosetones, puentes, ….sobre imágenes y fotografías de Valladolid

UNIDAD 4.- DIVISIBILIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Múltiplos de un número

Múltiplo de un número es otro número que se obtiene al multiplicarlos por un número natural.
Un número a es múltiplo de otro b si la división a:b es exacta.
Se obtienen multiplicando dicho número por números naturales (1, 2, 3 ,4,...). Múltiplos de 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42,…

Cálculo del mínimo común múltiplo.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes a ambos números. m.c.m. (2 y 5)=10 m.c.m (3 , 9)=9 m.c.m. (4, 6)= 12 Ejemplo: para calcular el mínimo común múltiplo de 2,3 y 4 múltiplos de 2: 2,4,6,8,10,12,14,16,… múltiplos de 3: 3,6,9,12,15,18,… múltiplos de 4: 4,8,12,.. m.c.m. (2,3,4)= 12

Divisores de un número.

Los divisores de un número son todos los números que caben en él una cantidad exacta de veces. Es decir un número b es divisor de otro a si la división a:b es exacta.
Para calcular los divisores de un número, dividimos dicho número entre los números naturales menores e iguales que él. Si la división es exacta, el número es divisible entre ese número natural Divisores de 20: 1, 2, 4, 5,10 y 20.
El 1 es divisor de todos los números.
Todo número es divisor de sí mismo.

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10.

Los criterios de divisibilidad nos permiten descubrir si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división.

* Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. 20:2=10 118:2=59 * Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 15---1+5=6 6:3=2

* Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5 125:5=25 90:5=18

* Un número es divisible por 9 si lo es la suma de sus cifras. 81---8+1=9 9:9=1

* Un número es divisible por 10 si termina en 0. 1.550:10=155

También nos permiten averiguar cuándo un número es múltiplo de otro.

Por ejemplo: 14 es múltiplo de dos porque termina en 4,

175 es múltiplo de cinco porque termina en 5,

645 es múltiplo de tres porque la suma de sus cifras (15) es divisible entre 3.

Números primos y compuestos.

Un número es primo si solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo. Por ejemplo el 7 es primo porque solo tiene dos divisores (1 y 7).
Un número es compuesto si tiene otros divisores además del 1 y él mismo, es decir si tiene más de dos divisores. Por ejemplo el 4 es compuesto porque tiene tres divisores (1, 2 y 4)
El número 1 no es ni primo ni compuesto.

Cálculo del máximo común divisor.

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes

Divisores del 12={1,2,3,4,6,12}

Divisores del 18={1, 2, 3, 6, 9 ,18} m.c.d. (12 y 18)= 6

Números divisores

24	1	2	3	4	6	8	12	24
64	1	2	4	8	16	32	64

Divisores comunes de 24 y 64={1,2,4,8} m.c.d. (24 y 64)=8

Resolución de problemas de m.c.m. y de m.c.d.

· De colocar, envasar o repartir objetos (flores en jarrones, libros en cajas, pastillas en frascos, …)

Personas formando grupos o equipos
Fechas en que coinciden, horas en que suenan al mismo tiempo campanas,…
Piezas para cubrir un panel,

TEMA 3 NÚMEROS ENTEROS

1) Números enteros y su representación en la recta numérica:

-Los números enteros cuentan unidades enteras, tanto positivas como negativas.

-El cero es un número entero ni positivo ni negativo.

-En la recta numérica los números positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda

-Los números opuestos ocupan en la recta numérica puntos simétricos respecto del cero. Los números

opuestos son aquellos que tienen el mismo valor numérico pero diferente signo. +4 y -4

2) Su utilidad: Sirven para expresar cantidades o posiciones fijas

-Valores de temperaturas: el termómetro puede marcar una temperatura sobre cero o bajo

Cero. Ejemplos: -5º C = cinco grados bajo cero 22º C =veintidós grados sobre cero

-Pisos o plantas en los edificios: podemos estar en un piso sobre la calle o en un sótano

Ejemplo: -2 = segundo sótano

-Los años en la línea de tiempo o eje cronológico. Ejemplo: según los historiadores clásicos

la fundación de Roma tuvo lugar en el año -753 (año 753 a. C.).

-No es lo mismo tener dinero en la cuenta del banco o caja de ahorros que estar en

números rojos. Carmen tiene 1.500 euros de saldo en su cuenta corriente (+ 1.500 €),

Alfonso ha gastado más de lo que ha ingresado, debe 750 euros al Banco. El saldo de su

cuenta o de su tarjeta de crédito es negativo (-750 €).

-Para señalar la profundidad. Margarita bucea a diecisiete metros de profundidad (-17 m)

3) Comparación y ordenación de números enteros.

-En una recta numérica el valor de los números aumenta de izquierda a derecha.

-Cualquier número entero es mayor que otro situado a su izquierda en la recta numérica

y menor que otro situado a su derecha. -2 < -5

-Un número entero positivo siempre es mayor que cualquier número negativo 1 > -7

-El cero siempre es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número negativo

0 > -9 0 < 2

4) Adición de números enteros. (Se debe representar en la recta numérica)

4.1-Para sumar a un número entero otro entero positivo, se avanza en la recta numérica, hacia la derecha a partir del primero, tantas unidades como contiene el segundo.

Ejemplo: (-4)+6=2 (avanzamos seis hacia la derecha)

4.2-Para sumar a un número entero otro entero negativo, se avanza en la recta numérica, hacia la izquierda a partir del primero, tantas unidades como indica el segundo.

Ejemplos: (-1)+(-3)= -4 4+(-3)= 1 en ambos caos se avanza tres hacia la izquierda

5) Los números enteros en el sistema de coordenadas cartesianas: representación de puntos en el plano Las dos rectas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas, se cortan en el punto 0, denominado origen. A---(-3, +2)

5.1- Identificación de las coordenadas de puntos en ejes cartesianos A cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números enteros. Para conocer las coordenadas de un punto trazamos un segmento vertical y otro horizontal hasta cortar a los ejes. Para leer y escribir las coordenadas de un punto se nombra primero la del eje horizontal y después la del vertical.

5.2- Representación de puntos a partir de sus coordenadas cartesianas. A cada par de números enteros le corresponde un punto en la cuadrícula

6) Resolución de problemas con números enteros

-Cuadrados mágicos con números enteros.

La suma de cada fila, de cada columna y de cada diagonal es -2. Coloca -1, 4, -2, -8, 2 y 7

0	-7	6
			1
-5		-3
5	-4	3	-6

Coloca los números enteros comprendidos entre el -4 y el 4

-Sobre diferencias entre temperaturas máximas y mínimas

-Movimientos en ascensor.

-Diferencias en altitud entre cumbres montañosas y profundidades marinas.

TEMA 2.- POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

1)Escritura de productos de factores iguales en forma de potencia. Una potencia es un producto de una multiplicación en la que todos los factores son iguales . Sus términos son la base y el exponente” 4x4x4=4³

2)Reconocimiento de la base y el exponente de una potencia. 12 ² Base: factor que se repite 12 Exponente: número de veces que se repite el factor 2

3)Lectura, escritura y cálculo de potencias.

3.1- Lectura y escritura de potencias 9x9= 9² =nueve elevado a dos=nueve al cuadrado=81 2x2x2x2= dos elevado a cuatro= 16 5x5x5=5³=cinco elevado a tres=cinco al cubo=125 3.2 - Modelos geométricos de cuadrados (secuencias puntuales, superficies cuadriculadas,…materiales manipulativos como geoplanos, polydron,…) y cubos (se pueden usar materiales manipulativos como multicubos, regletas,…) 3.3- Cálculo mental de cuadrados y cubos (números del uno al nueve) -Las potencias de base 2 se denominan cuadrados. Para calcular el cuadrado de un número multiplicamos dicho número por sí mismo. 7² = 7x7= 49 -Las potencias de base 3 se llaman cubos. Para calcular el cubo de un número multiplicamos dicho número por sí mismo tres veces. 6³= 6x6x6= 216 Calcula mentalmente 400² 900² 200² ejemplo: 500²=250.000

4)Desarrollo de la expresión polinómica de un número. 4.1- Potencias de base 10 : Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades tiene el exponente 10³=1.000 4.2 Descomposición de números como potencias: Los números pueden expresarse como la suma de varios productos obtenidos al multiplicar la cifra de cada orden de unidades por una potencia de base 10 1.492=1x10³+4x10²+9x10¹+2 4.3 Notación científica utilizando las potencias de diez para expresar un número

4x10³=4x1.000=4.000

5)Cálculo de la raíz cuadrada de un número. 5.1 La operación inversa del cuadrado de un número es la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número que multiplicado por sí mismo da como producto el primero. √ 81= 9 Se lee raíz cuadrada de ochenta y uno es igual a nueve. 5.2 Cuando la raíz cuadrada no es exacta se puede calcular entre que dos números consecutivos está. 1<√3<2 4<√19<5

6)Resolución de problemas aplicando potencias y raíces cuadradas.

TEMA 1 .- NUMERACIÓN y OPERACIONES

1)Lectura, escritura y descomposición de números de hasta nueve cifras

1.1 Nuestro sistema de numeración: decimal y posicional

1.2 Escribe como se leen los números 987.234.598

1.3 Descomposición en forma suma

4CMM + 1DMM +7UMM +6CM +3 DM + 5UM + 9C + 8D + 4U

400.000.000+10.000.000+7.000.000+600.000+30.000+5.000+900+80+4

2)Identificación del valor posicional de las cifras y aproximaciones

2.1 Escribe el valor de la posición de la cifra 7 en cada uno de estos números

75.001.000----7DMM---70.000.000

257.459-----7UM----7.000

2.2 Aproxima un número determinado al millar, a la centena,….

356.680…………………………357.000…….356.700

3)Comparación y ordenación de números de hasta nueve cifras.

3.1 Uso de los signos matemáticos mayor que > y menor que <

3.2 Comparación de números 95.009.780 < 95.009.801

3.3 Ordenación de números 15.001.897<15.101.897<15.110.000<15.111.987

4) Cálculo de operaciones combinadas con y sin paréntesis

4.1 Orden y jerarquía de operaciones:

-Primero realizamos las operaciones del interior de los paréntesis

-En segundo lugar las potencias y raíces (se estudiarán en el tema 2)

-Después multiplicaciones y divisiones

-Por último las sumas y las restas

9x5+(8-5)+2=9x5+3+2=45+3+2=50

4.2 El resultado de las operaciones varía en función del lugar donde estén los paréntesis 7+5x8= 47 (7+5)x8= 96

5)Resolución de problemas de varias operaciones.

5.1 Aplicación de los pasos precisos para resolver un problema 5.2 Reconocimiento y cálculo de la expresión numérica asociada a una frase. “las bolas que hay en 15 docenas más las que hay en 7 decenas” 15x12+7x10=250 5.3 Inventa el enunciado de un problema que se resuelva mediante la operación 7+6x13

6)Cálculo mental: 6.1 Aplicación propiedad distributiva de la multiplicación 15x9=10x9+5x9=135 6.2 Operaciones combinadas con paréntesis (sencillas ) 9-2x(1+3)=9-2x4=1

7)Suma, resta, multiplicación y división (repaso curso anterior)

7.1 Suma : propiedades conmutativa y asociativa

7.2 Multiplicación: propiedades conmutativa, asociativa y distributiva

7.3 División D=dxc+r

7.4 Elemento neutro de la suma y la resta=0. Elemento neutro de la multiplicación y la división=1